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计算机专业必修数学课程

六大计算机名校开设的数学课种类和分支都非常多，因此会结合计算机专业毕业要求、计算机核心课程先修课以及对外的课程口碑，来列举各名校推荐大家学习的数学课程。

我们都知道，计算机毕业要求通常会给比较低的标准，所以专业毕业要求给出的也都是必修的核心课程。不过考虑到泛用性，这里我们会列出一个优秀的计算机专业学生推荐掌握的课程，因此以下所列的课程会超出专业毕业要求，同时也意味着超出以下所列的课程，基本只建议作为爱好来学习。

MIT 数学课程​

① MIT 6.042 计算机科学中的数学​

强调应用密码学。可能包括：系统安全的基本概念、加密哈希函数、对称加密（一次性密码本、分组密码、流密码、消息身份验证码）、秘密共享、密钥交换、公钥加密（加密、数字签名） 、椭圆曲线加密、公钥基础设施、TLS、完全同态加密、差分隐私、加密货币和电子投票。作业包括最终的小组项目。主题可能每年有所不同。

先修课程： 无
学习地址： MIT 6.042 计算机科学中的数学

② MIT 18.01/18.02 微积分​

18.01 涵盖一个变量函数的微分和积分，以及一些基本应用。 18.01 的先修课程是高中代数和三角学。18.02 涵盖向量和多变量微积分。对偏微分和多重积分进行了研究和应用。引入向量、向量值函数和向量场来描述速度和力场等物理概念。介绍了线积分和面积分及其在功和通量概念中的应用，并通过格林、高斯和斯托克斯定理进行研究。

先修课程： 无
学习地址： MIT 18.01/18.02 微积分

③ MIT 18.05 概率论与数理统计导论​

初步介绍及应用。基本概率模型。组合学。随机变量。离散和连续概率分布。统计估计和测试。置信区间。线性回归简介。

先修课程： MIT 18.01/18.02 微积分
学习地址： MIT 18.05 概率论与数理统计导论

④ MIT 18.06 线性代数​

矩阵理论和线性代数的基础科目，强调其他学科中有用的主题，包括方程组、向量空间、行列式、特征值、奇异值分解和正定矩阵。最小二乘近似、微分方程稳定性、网络、傅立叶变换和马尔可夫过程的应用。使用线性代数软件。与18.700相比，更强调矩阵算法和很多应用。

先修课程： MIT 18.01/18.02 微积分
学习地址： MIT 18.06 线性代数

Stanford数学课程​

斯坦福大学数学需要学习26个学分，其中离散数学（CS103）5分、微积分（即MATH20系列的三门课:MATH 19、MATH 20、MATH 21）共10分、必修的概率论（CS 109）5分，这三门课是必修，需要再选修2门数学课，建议学习线性代数（MATH50的三门课MATH 51、MATH 52、MATH 53）共15个学分，即只需要掌握离散数学、微积分、线性代数、概率统计这四个分支的课程就可以超出对数学的学分要求。

① 斯坦福 Math 20系列 微积分​

MATH20系列是围绕微积分展开的系列课程，它主要包括三门课，MATH 19、MATH 20、MATH 21：

  • MATH 19：单变量函数微分学简介。复习初等函数（包括指数和对数）、极限、变化率、导数及其性质、导数的应用。先决条件：三角学、高级代数和初等函数分析（包括指数和对数）。
  • MATH 20：定积分、黎曼求和、反导数、微积分基本定理。通过替换和部分进行整合。曲线之间的面积以及切片、垫圈和壳的体积。初始值问题、指数和逻辑模型、方向场和参数曲线。
  • MATH 21：数字和函数的序列，以及每个序列的“无穷大”极限（对于数值过程的长期行为的任何合理讨论都需要，例如：计算机科学中的迭代过程和复杂性、整个经济学中的动态模型以及对任何领域的数据进行重复试验）。讨论了有理函数的积分，特别是无界函数和“无穷大”的（不正确）积分等

先修课程： 学生需要在“初级微积分”方面有坚实的基础，即高中代数和三角学的概念。
学习地址： 斯坦福 Math 20系列 微积分

② 斯坦福 Math50系列 线性代数​

斯坦福大学 MATH50是一个系列，内容将线性代数和微积分相结合，学MATH 50系列前需要先掌握MATH20的内容，MATH50系列包含三门课程：

  • MATH51 线性代数、多元微积分和现代应用：以统一的方式涵盖线性代数和多元微积分以及与许多定量领域相关的应用。该材料包括矢量、矩阵和线性变换的基本几何和代数，以及任意数量变量的优化技术（涉及偏导数和拉格朗日乘数）。
  • MATH52 多变量积分:涵盖多变量积分，特别是格林定理和斯托克斯定理。
  • MATH53 微分方程与线性代数、傅立叶方法和现代应用：发展了常微分方程的核心概念、示例和结果，并涵盖了重要的偏微分方程和求解它们的傅立叶技术。

先修课程： 学生需要在“初级微积分”方面有坚实的基础，即高中代数和三角学的概念。
学习地址： 斯坦福 Math50系列 线性代数

③ 斯坦福 CS 103 计算的数学基础​

计算能力的理论极限是什么？哪些问题可以用计算机解决？哪些不能？我们如何才能用数学确定性推理出这些问题的答案？本课程探讨这些问题的答案，并介绍离散数学、可计算性理论和复杂性理论。完成课程后，学生将能够轻松地编写数学证明、推理离散结构、阅读和编写一阶逻辑语句以及使用计算设备的数学模型。在整个课程中，学生将接触到十九世纪末和二十世纪一些最令人兴奋的数学和哲学思想。涵盖的具体主题包括形式数学校对、命题和一阶逻辑、集合论、二元关系、函数（注入、满射和双射）、基数、基本图论、鸽巢原理

先修课程： CS106B/CS106X 程序抽象
学习地址： 斯坦福 CS 103 计算的数学基础

④ 斯坦福 CS109 计算机科学家的概率论​

主题包括：计数和组合、随机变量、条件概率、独立性、分布、期望、点估计和极限定理。概率在计算机科学中的应用，包括机器学习和概率在算法分析中的使用。

先修课程： 斯坦福 CS 103 计算的数学基础、CS106B/CS106X 程序抽象
学习地址： 斯坦福 CS 103 计算的数学基础

Berkeley数学课程​

和很多学校一样，相同主题的数学课会有不同的内容与难度，比如Berkeley的MATH55也是讲离散数学的，但是这些数学课并不一定都适合计算机专业的学生，比如Berkeley CS就推荐计算机专业的学生学习 CS70而不是MATH55（因此本站也就不收录MATH 55）。

① 伯克利 Math1A/1B 微积分​

介绍一元函数的微分和积分计算，包括应用和超越函数的介绍。积分技巧；积分的应用。无穷序列和级数。一阶常微分方程。二阶常微分方程；振荡和阻尼；常微分方程的级数解。

先修课程： 无
学习地址： 伯克利 Math1A/1B 微积分

② 伯克利 Math53 多变量微积分​

参数方程和极坐标。 2 维和 3 维欧几里得空间中的向量。偏导数。多重积分。向量微积分。格林、高斯和斯托克斯定理

先修课程： 伯克利 Math1A/1B 微积分
学习地址： 伯克利 Math53 多变量微积分

③ 伯克利 Math54 线性代数和微分方程​

基础线性代数；矩阵算术和行列式。向量空间；内积空间。特征值和特征向量；线性变换，对称矩阵。一阶线性 ODE 系统：将高阶方程简化为单阶系统，使用特征值的齐次常系数方程。

先修课程： 伯克利 Math1A/1B 微积分
学习地址： 伯克利 Math54 线性代数和微分方程

④ 伯克利 CS70 离散数学和概率论​

逻辑、无穷大和归纳；应用包括不确定性和稳定的婚姻问题。模块化算术和 GCD；应用包括素数测试和密码学。多项式；示例包括纠错码和插值。概率包括样本空间、独立性、随机变量、大数定律；示例包括负载平衡、存在参数、贝叶斯推理。

先修课程： 伯克利 Math1A/1B 微积分以及一定的编程经验
学习地址： 伯克利 CS70 离散数学和概率论

Harvard 数学课程​

① 哈佛 MATH 1a/1b 微积分导论​

MATH 1a 使用基于函数的方法来模拟现实世界现象并探索变化率（导数）和净变化（积分）的概念。要求学生以各种方式探索真实数据集：确定适当的函数来对数据进行建模，使用变化率进行预测并探索数据变化的原因和可能的解释，并使用净变化来提供基于数据并解释他们在解释中所做的假设。

MATH 1b 讲现代数学的语言需要熟练掌握本课程的主题：无穷级数、积分和微分方程。使用积分和微分方程对实际情况进行建模。了解如何使用级数表示有趣的函数，并找到研究微分方程的定性、数值和分析方法。培养概念理解和应用能力。

先修课程： 无
学习地址： 哈佛 MATH 1a/1b 微积分导论

② 哈佛 MATH22a/22b 线性代数和向量分析​

MATH 22a涵盖了对理论科学（应用或纯数学、计算机科学、物理学、数学生物学、统计学或更数学经济学）感兴趣的学生的多元微积分和线性代数。该课程开始有点陡峭，但它将使我们能够巡航再高一点，并利用线性代数的力量来获得更多的见解

MATH 22b 是哈佛大学数学 22a 的延续。学习线性代数、微分方程和调和分析（傅里叶理论）。

先修课程： 无
学习地址： 哈佛 MATH22a/22b 线性代数和向量分析

③ 哈佛 MATH 21A 多变量微积分​

为了了解微积分如何应用于由多个变量描述的实际情况，我们研究了使用不同坐标系的曲线、曲面和实体区域的积分；曲线和曲面的参数化；矢量、直线和平面；偏导数和梯度；有约束和无约束优化；矢量场的散度和旋度；以及格林定理、斯托克斯定理和散度定理

先修课程： 哈佛 MATH 1a/1b 微积分导论、哈佛 MATH22a/22b 线性代数和向量分析
学习地址： 哈佛 MATH 21A 多变量微积分

④ 哈佛 STAT110 概率论​

Stat 110 介绍了概率作为一种语言和一组工具，用于理解统计、科学、风险和随机性。这些想法和方法在统计学、科学、工程、经济、金融和日常生活中都很有用。主题包括以下内容。基础知识：样本空间和事件、调节、贝叶斯定理。随机变量及其分布：分布、矩生成函数、期望、方差、协方差、相关性、条件期望。单变量分布：正态分布、t 分布、二项分布、负二项分布、泊松分布、Beta 分布、Gamma 分布。多元分布：联合分布、条件分布和边际分布、独立分布、变换、多项式、多元正态分布。极限定理：大数定律、中心极限定理。马尔可夫链：转移概率、平稳分布、可逆性、收敛性。

先修课程： 哈佛 MATH 1a/1b 微积分导论、哈佛 MATH22a/22b 线性代数和向量分析
学习地址： 哈佛 STAT110 概率论

⑤ 哈佛 CS20 计算机科学中的离散数学​

为了了解微积分如何应用于由多个变量描述的实际情况，我们研究了使用不同坐标系的曲线、曲面和实体区域的积分；曲线和曲面的参数化；矢量、直线和平面；偏导数和梯度；有约束和无约束优化；矢量场的散度和旋度；以及格林定理、斯托克斯定理和散度定理

先修课程： 哈佛 MATH 1a/1b 微积分导论、哈佛 MATH22a/22b 线性代数和向量分析、 哈佛 MATH 21A 多变量微积分
学习地址： 哈佛 CS20 计算机科学中的离散数学

Princeton 数学课程​

普林斯顿大学计算机专业同样也是必修微积分、线性代数（普林斯顿更侧重于计算机三个方向的核心课程：理论、系统、应用，没有对概率统计和离散数学有严格要求），由于这些数学课程都不对外开放，因此本文档只列出这些数据课程的大致介绍，不会收录这些课程：

  • **MAT 103 Calculus I（微积分）：**微积分第一学期。主题包括极限、连续性、导数、基本微分公式和应用（曲线绘制、优化、相关率）、定积分和不定积分、微积分基本定理。
  • **MAT 104 Calculus II（微积分）：**MAT103 的继续。主题包括积分技术、弧长、面积、体积、级数收敛和不定积分、洛必塔法则、幂级数和泰勒定理、微分方程和复数简介。
  • **MAT 201 Multivariable Calculus（多变量微积分）：**平面和空间中的向量、向量函数和运动、曲面、坐标系、两个或三个变量的函数及其导数、最大值和最小值及其应用、二重和三重积分、向量场和斯托克斯定理。
  • **MAT 202 Linear Algebra with Applications（线性代数及其应用）：**矩阵、线性变换、线性独立性和维数、基数和坐标、行列式、正交投影、最小二乘法、特征向量及其在二次形式和动力系统中的应用
  • **MAT 217 Honors Linear Algebre 荣誉线性代数：**一门严格的线性代数课程，强调证明而不是应用。主题包括向量空间、线性变换、内积空间、行列式、特征值、凯莱-汉密尔顿定理、Jordan 形式、正规变换的谱定理、双线性和二次形式。

CMU 数学课程​

① CMU 21-120/122 积分与近似​

通过三角代换和部分分数进行积分；弧长；不正确的积分；数值积分的辛普森法则和梯形法则；可分离微分方程、牛顿法、欧拉法、泰勒定理，包括余数、序列、级数、幂级数的讨论。参数曲线、极坐标、向量、点积。

先修课程： 无
学习地址： CMU 21-120/122 积分与近似

② CMU 21-127 数学概念​

本课程介绍数学中涉及的基本概念、思想和工具。因此，它的主要重点是介绍非形式逻辑和数学证明的方法。这些学科与数学在许多领域的应用密切相关，特别是计算机科学。讨论的主题包括初等数论、归纳法、集合代数、关系、等价关系、同余、分区和函数（包括注入、满射和双射）的基本介绍。实数、有理数和无理数的基本介绍。集合的上确界和下确界。

先修课程： CMU 21-120/122 积分与近似
学习地址： CMU 21-127 数学概念

③ CMU 21-241 矩阵和线性变换​

线性代数的第一门课程，面向科学家、工程师、数学家和计算机科学家。学生将被要求写一些简单的证明。涵盖的主题：复数、实数和复数向量和矩阵、矩阵的行空间和列空间、秩和零、通过矩阵行约简求解线性系统、逆矩阵和行列式、基变化、线性变换、内积向量、正交基和 Gram-Schmidt 过程、特征向量和特征值、矩阵的对角化、对称和正交矩阵。

先修课程： CMU 21-127 数学概念
学习地址： CMU 21-241 矩阵和线性变换

④ CMU 21-259 三维微积分​

矢量、直线、平面、二次曲面、极坐标、柱坐标和球坐标、偏导数、方向导数、梯度、散度、旋度、链式法则、最大最小问题、多重积分、参数曲面和曲线、线积分、曲面积分、格林高斯定理。

先修课程： CMU 21-120/122 积分与近似
学习地址： CMU 21-259 三维微积分

⑤ CMU 15-259 概率与计算​

本课程介绍概率在计算机科学理论和实践中的应用，以应用和当前研究发展为动力。本课程分为 3 个部分：第一部分是概率简介，包括离散和连续随机变量、重尾、模拟、拉普拉斯变换、z 变换以及生成函数的应用。第二部分深入介绍了浓度不等式，例如 Chernoff 界和 SLLN 界，以及它们在随机算法中的应用。第三部分涵盖马尔可夫链（离散时间和连续时间）和随机过程及其在排队系统性能建模中的应用。

先修课程： 15-251 理论计算机科学的伟大思想、CMU 21-259 三维微积分
学习地址： CMU 15-259 概率与计算